Выпуклость, вогнутость

Выпуклость, вогнутость [convexity, concavity]. В математике рассматриваются, во-первых, выпуклые области (или, что то же самое в теории множеств — выпуклые множества); во-вторых, выпуклые функции.

1) Выпуклая область на плоскости — часть плоскости, обладающая тем свойством, что отрезок, соединяющий две ее любые точки, содержится в ней целиком (см. рис. В.5). Через каждую точку ее границы можно провести опорную прямую, которая не рассекает эту область.

Например, к выпуклым множествам относятся: все n-мерное пространство R_n, или множество точек (x₁…x_n) в n-мерном пространстве, удовлетворяющих условию: a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b, или r-окрестность любой n-мерной точки и др. Пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Эти понятия переносятся с двумерного пространства (плоскости) на многомерное. Например, роль опорной прямой по отношению к n-мерному выпуклому многограннику в нем играет опорная гиперплоскость.

Выпуклые многогранники и выпуклые многогранные конусы принадлежат к числу наиболее распространенных понятий математической экономики. В линейном и выпуклом программировании используются обязательно выпуклые области изменения переменных (допустимые множества по теоретико-множественной терминологии, многогранники — по геометрической) и выпуклые целевые функции.

2)Выпуклость функции(вниз)—свойство кривой y = f(x), заключающееся в том, что каждая дуга кривой лежит не выше, а если функция вогнутая (вниз) — не ниже своей хорды. Функция 3 на рис. В.5. называется выпуклой книзу, функция 4 — обычно называется вогнутой. (На рисунках к статье Выпуклое программирование показаны соответствующие функции двух переменных).

Математически формулируется достаточное условие  выпуклости графика непрерывной функции  y=f(x), определенной на интервале (a,b)  (которая в этом случае должна быть дважды дифференцируемой функцией): если она имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то ее график является выпуклым вверх, если положительную — выпуклым вниз. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую график  меняет направление выпуклости (например, был выпуклым вверх, стал — вниз), называется точкой перегиба.

Рис. В.5  1 — выпуклая область; 2 — невыпуклая область; 3 — выпуклая (вниз) функция; 4 — вогнутая функция